Program Python yang menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Gauss

  contoh program Python yang menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Gauss, dengan input untuk jumlah persamaan, jumlah variabel, koefisien masing-masing variabel, dan konstanta.

Langkah 1: Import Pustaka yang Dibutuhkan

Program ini hanya memerlukan pustaka dasar Python, sehingga tidak ada pustaka tambahan yang perlu diinstal.

Langkah 2: Menulis Program

import numpy as np

def gauss_elimination(A, b):

    n = len(b)

    # Eliminasi maju

    for i in range(n):

        # Pivoting

        max_row = i + np.argmax(np.abs(A[i:, i]))

        if i != max_row:

            A[[i, max_row]] = A[[max_row, i]]

            b[[i, max_row]] = b[[max_row, i]]

       

        # Normalisasi baris i

        A[i] = A[i] / A[i, i]

        b[i] = b[i] / A[i, i]

       

        # Eliminasi baris di bawahnya

        for j in range(i+1, n):

            b[j] -= A[j, i] * b[i]

            A[j] -= A[j, i] * A[i]

    # Substitusi mundur

    x = np.zeros_like(b)

    for i in range(n-1, -1, -1):

        x[i] = b[i] - np.sum(A[i, i+1:] * x[i+1:])

   

    return x

def main():

    # Input jumlah persamaan

    n = int(input("Masukkan jumlah persamaan: "))

   

    # Input jumlah variabel

    m = int(input("Masukkan jumlah variabel: "))

   

    # Inisialisasi matriks koefisien dan vektor konstanta

    A = np.zeros((n, m))

    b = np.zeros(n)

   

    # Input koefisien dan konstanta

    for i in range(n):

        print(f"Persamaan {i+1}:")

        for j in range(m):

            A[i, j] = float(input(f"Masukkan koefisien untuk variabel x{j+1}: "))

        b[i] = float(input(f"Masukkan konstanta: "))

   

    # Menyelesaikan sistem persamaan linear

    if n == m:

        solusi = gauss_elimination(A, b)

        print("Solusi untuk sistem persamaan linear adalah:")

        for i in range(m):

            print(f"x{i+1} = {solusi[i]}")

    else:

        print("Jumlah persamaan dan jumlah variabel harus sama untuk mendapatkan solusi unik.")

if __name__ == "__main__":

    main()

Langkah 3: Penjelasan Program

• Fungsi gauss_elimination(A, b): Ini adalah implementasi metode eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear $Ax=b$. Fungsi ini melakukan eliminasi maju untuk mengubah sistem menjadi bentuk segitiga atas, kemudian melakukan substitusi mundur untuk menemukan solusi.

• Input:

  • Jumlah persamaan $n$.
  • Jumlah variabel $m$.
  • Koefisien masing-masing variabel untuk setiap persamaan.
  • Konstanta untuk setiap persamaan.

• Output: Solusi dari sistem persamaan linear, jika jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel.

Langkah 4: Menjalankan Program

Untuk menjalankan program ini, Anda cukup menyalin kode di atas ke dalam file Python dan menjalankannya. Program akan meminta input dari pengguna, lalu menghitung dan menampilkan solusi dari sistem persamaan linear yang diberikan.

Contoh 1: Dua Persamaan Linear dengan Solusi Bilangan Bulat

$$\begin{aligned} 2x_1 + 3x_2 &= 5 \\ 4x_1 - x_2 &= 1 \end{aligned}$$

Solusi:

• $x_1=1.75$
• $x_2=3$